Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Синус и косинус некоторого угла оказались различными корнями квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$. Докажите, что $b^2 = a^2 +2ac$.

Комментарий/решение

Пусть данный угол это $\alpha$. Из условия задачи понятно, что $a \ne 0,$ так как квадратный трехчлен имеет два различных корня.

По условию корнями уравнения $ax^2+bx+c=0$ является $x_1=\sin a$, $x_2=\cos a$. Разделим это уравнение на $a,$ получим $x^2+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}=0$; по теореме Виета получим, что $x_1+x_2=-\dfrac {b}{a}$, a $x_1×x_2=\dfrac{c}{a}$. Так как $\{\sin \alpha; \cos\alpha \}=\{ x_1;x_2\},$ то возведя сумму корней в квадрат, получим $\sin ^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a =\dfrac{b^2}{a^2}$, то есть $1+\dfrac {2c}{a}=\dfrac{b^2}{a^2}$. Если левую часть и числитель и знаменатель умножить на $a$, то получим то что мы и доказывали.