Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып
Бір бұрыштың синусы мен косинусы мәндері ax2+bx+c квадрат үшмүшесінің әр түрлі түбірлері болып шықты. b2=a2+2ac екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть данный угол это α. Из условия задачи понятно, что a≠0, так как квадратный трехчлен имеет два различных корня.
По условию корнями уравнения ax2+bx+c=0 является x1=sina, x2=cosa. Разделим это уравнение на a, получим x2+bxa+ca=0; по теореме Виета получим, что x1+x2=−ba, a x1×x2=ca. Так как {sinα;cosα}={x1;x2}, то возведя сумму корней в квадрат, получим sin2a+cos2a+2sinacosa=b2a2, то есть 1+2ca=b2a2. Если левую часть и числитель и знаменатель умножить на a, то получим то что мы и доказывали.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.