Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып


Бір бұрыштың синусы мен косинусы мәндері ax2+bx+c квадрат үшмүшесінің әр түрлі түбірлері болып шықты. b2=a2+2ac екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5 | Модератормен тексерілді
7 года 9 месяца назад #

Пусть данный угол это α. Из условия задачи понятно, что a0, так как квадратный трехчлен имеет два различных корня.

По условию корнями уравнения ax2+bx+c=0 является x1=sina, x2=cosa. Разделим это уравнение на a, получим x2+bxa+ca=0; по теореме Виета получим, что x1+x2=ba, a x1×x2=ca. Так как {sinα;cosα}={x1;x2}, то возведя сумму корней в квадрат, получим sin2a+cos2a+2sinacosa=b2a2, то есть 1+2ca=b2a2. Если левую часть и числитель и знаменатель умножить на a, то получим то что мы и доказывали.