Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс


Вася взял 11 подряд идущих натуральных чисел и перемножил их. Коля взял эти же 11 чисел и сложил их. Могли ли две последние цифры результата Васи совпасть с последними двумя цифрами результата Коли?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
8 года 4 месяца назад #

Ответ :да,могут совпасть

Решение. Последние цифры произведения одиннадцати чисел, очевидно, 00. Среди 11 подряд идущих натуральных чисел обязательно найдутся различные числа , кратное 2, кратное 5 и кратное 10. Таким образом, произведение таких одиннадцати чисел делится на 100.

Покажем, что существует также одиннадцать подряд идущих натуральных чисел, что их сумма также делится на 100. Мы имеем дело с арифметической прогрессией. Sn=n(2a1+d(n1))2. По условию n=11,d=1. То есть S11=55+11a1. При a1=95,S11=1100. Естественно, это значение a1 не единственное, при умножении которого на 11 получается остаток 45.

  6
1 месяца 22 дней назад #

Отличное решение