Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Вася взял 11 подряд идущих натуральных чисел и перемножил их. Коля взял эти же 11 чисел и сложил их. Могли ли две последние цифры результата Васи совпасть с последними двумя цифрами результата Коли?

Комментарий/решение

Ответ :да,могут совпасть

Решение. Последние цифры произведения одиннадцати чисел, очевидно, $00$. Среди $11$ подряд идущих натуральных чисел обязательно найдутся различные числа , кратное $2$, кратное $5$ и кратное $10$. Таким образом, произведение таких одиннадцати чисел делится на $100$.

Покажем, что существует также одиннадцать подряд идущих натуральных чисел, что их сумма также делится на $100$. Мы имеем дело с арифметической прогрессией. $S_n=\dfrac {n (2a_1+d (n-1))}{2}$. По условию $n=11,d=1$. То есть $S_{11}=55+11a_1$. При $a_1=95,S_{11}=1100$. Естественно, это значение $a_1$ не единственное, при умножении которого на $11$ получается остаток 45.