Областная олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс
Вася взял 11 подряд идущих натуральных чисел и перемножил их. Коля взял эти же 11 чисел и сложил их. Могли ли две последние цифры результата Васи совпасть с последними двумя цифрами результата Коли?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ :да,могут совпасть
Решение. Последние цифры произведения одиннадцати чисел, очевидно, 00. Среди 11 подряд идущих натуральных чисел обязательно найдутся различные числа , кратное 2, кратное 5 и кратное 10. Таким образом, произведение таких одиннадцати чисел делится на 100.
Покажем, что существует также одиннадцать подряд идущих натуральных чисел, что их сумма также делится на 100. Мы имеем дело с арифметической прогрессией. Sn=n(2a1+d(n−1))2. По условию n=11,d=1. То есть S11=55+11a1. При a1=95,S11=1100. Естественно, это значение a1 не единственное, при умножении которого на 11 получается остаток 45.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.