Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Вася 11 қатар тұрған санды алып, оларды көбейтіп шықты. Коля да сол сандарды алып қосып шықты. Васяның алған санының соңғы екі цифры мен Коля алған санының соңғы екі цифры бірдей болуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Ответ :да,могут совпасть

Решение. Последние цифры произведения одиннадцати чисел, очевидно, $00$. Среди $11$ подряд идущих натуральных чисел обязательно найдутся различные числа , кратное $2$, кратное $5$ и кратное $10$. Таким образом, произведение таких одиннадцати чисел делится на $100$.

Покажем, что существует также одиннадцать подряд идущих натуральных чисел, что их сумма также делится на $100$. Мы имеем дело с арифметической прогрессией. $S_n=\dfrac {n (2a_1+d (n-1))}{2}$. По условию $n=11,d=1$. То есть $S_{11}=55+11a_1$. При $a_1=95,S_{11}=1100$. Естественно, это значение $a_1$ не единственное, при умножении которого на $11$ получается остаток 45.