Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып
Комментарий/решение:
Ну кароч тут типа заметим, что x−2x1≥0 и 18x1−x≥0. Перемножим оба неравенства и получим, что 20xx1≥x2+36x21. Тогда 20aa1+20bb1+20cc1≥a2+36a21+b2+36b21+c2+36c21. По нер-ву Коши для правой стороны мы получим a2+36a21+b2+36b21+c2+36c21≥2∗6∗√(a2+b2+c2)(a+b+c).
Тогда 53(aa1+bb1+cc1)≥√(a2+b2+c2)(a+b+c). Возведем обе стороны в квадрат и получим исходное неравенство, которое надо было доказать.
Давайте обобщим задачу. Пусть akbk∈[α,β],α>0,k=1,2,...,n
Тогда:
\left({ \beta – \dfrac{a_k}{b_k}} \right) \cdot \left({ \dfrac{a_k}{b_k} – \alpha} \right) \geq 0
Следовательно:
{a_k}^2 + \alpha \beta {b_k}^2 \leq ( \alpha + \beta) a_k b_k k = 1, 2, ..., n
Тогда
\sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} + \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \leq \left( \alpha + \beta \right) \sum \limits_{k=1}^{n}{a_k b_k}
Из неравенства AM \geq GM получаем
\left( \sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} \right)^ {\dfrac{1}{2}} \left( \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \right)^{ \dfrac{1}{2}} \leq \dfrac{1}{2} \left( \sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} + \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \right)
Значит
\left( \sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} \right)^{ \dfrac{1}{2}} \left( \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \right) \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2} \left( \alpha + \beta \right) \sum \limits_{k=1}^{n}{a_kb_k}
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.