Processing math: 61%

Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 9 сынып


Оң a,b,c,a1,b1,c1 сандары үшін 2xx118 (x=a,b,c) теңсіздіктері орындалады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: (a2+b2+c2)(a21+b21+c21)259(aa1+bb1+cc1)2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2 года 1 месяца назад #

Ну кароч тут типа заметим, что x2x10 и 18x1x0. Перемножим оба неравенства и получим, что 20xx1x2+36x21. Тогда 20aa1+20bb1+20cc1a2+36a21+b2+36b21+c2+36c21. По нер-ву Коши для правой стороны мы получим a2+36a21+b2+36b21+c2+36c2126(a2+b2+c2)(a+b+c).

Тогда 53(aa1+bb1+cc1)(a2+b2+c2)(a+b+c). Возведем обе стороны в квадрат и получим исходное неравенство, которое надо было доказать.

  5
2 года 1 месяца назад #

В истории сайта matol первый раз вижу как пользователь вот так оформляет задач: "Ну кароч тут типа заметим,"

  1
2 года 1 месяца назад #

мне нрав

  1
2 года 1 месяца назад #

спс

  0
1 года 3 месяца назад #

при каких значениях достигается точка равенства ?

  0
1 года 3 месяца назад #

при каких-то положительных

  0
1 года 3 месяца назад #

назар говорил не напишешь точку равенства то -2 балла

  0
1 года 3 месяца назад #

c=15/4

a=4/18

b=15/18

  0
1 года 3 месяца назад #

Давайте обобщим задачу. Пусть akbk[α,β],α>0,k=1,2,...,n

Тогда:

\left({ \beta – \dfrac{a_k}{b_k}} \right) \cdot \left({ \dfrac{a_k}{b_k} – \alpha} \right) \geq 0

Следовательно:

{a_k}^2 + \alpha \beta {b_k}^2 \leq ( \alpha + \beta) a_k b_k k = 1, 2, ..., n

Тогда

\sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} + \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \leq \left( \alpha + \beta \right) \sum \limits_{k=1}^{n}{a_k b_k}

Из неравенства AM \geq GM получаем

\left( \sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} \right)^ {\dfrac{1}{2}} \left( \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \right)^{ \dfrac{1}{2}} \leq \dfrac{1}{2} \left( \sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} + \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \right)

Значит

\left( \sum \limits_{k=1}^{n}{{a_k}^2} \right)^{ \dfrac{1}{2}} \left( \alpha \beta \sum \limits_{k=1}^{n}{{b_k}^2} \right) \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{2} \left( \alpha + \beta \right) \sum \limits_{k=1}^{n}{a_kb_k}