19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год

Түсі жасыл немесе көк болатын, тіктөртбұрыш пішінді бірнеше майлық бар (олардың өлшемдері әртүрлі болуы мүмкін). Олардың әрбірін қабырғалары көлденең және тігінен келетіндей жазықтыққа қойып шыққан. Түрлі түсті кез келген екі майлықты тік немесе көлденең сызықпен (мүмкін, шекара бойымен) қиып өтуге болатыны белгілі. Келесі шартты қанағаттандыратын бір түс таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз: екі көлденең және бір тік түзуді таңдауға болады және таңдап алған түстің барлық майлықтарын осы таңдаған үш түзудің кемінде біреуі қияды. ( Г. Челноков )

Комментарий/решение

https://izho.kz/wp-content/uploads/2023/02/Day_2_sol_2023.pdf

Все все

Назовите набор салфеток «хорошим», если его можно разрезать горизонтальной линией, и «плохим» в противном случае. Обратите внимание, что «плохие» наборы — это именно те, которые содержат две салфетки, которые можно разделить горизонтальной линией.

Каждая вертикальная линия $\ell$ делит набор синих салфеток на 3 подмножества: салфетки слева, салфетки справа и салфетки, пересекающие линию. Если и левый, и правый сет «хорошие», мы выигрываем.

Если они оба плохие, возьмем два прямоугольника $R_1, R_2$ в правом наборе и $L_1, L_2$ в левом наборе так, чтобы некоторая горизонтальная линия $\ell_R$ разделяла $R_1, R_2$ и некоторую горизонтальную линию $. \ell_L$ делит между $L_1, L_2$. Каждая зеленая салфетка должна пересечь один из $\ell, \ell_R, \ell_L$, чтобы мы выиграли.В завершение мы покажем, что должен существовать $\ell$, чтобы результирующие левое и правое множества находились в одном и том же «состоянии». Действительно, условие «плохого» левого множества открыто на $\ell$, как и условие «плохого» правого множества. Таким образом, это следует из связности $\mathbb{R}$