19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год
Комментарий/решение:
Заметим, тогда сумма всех положительных чисел по модулю равна сумме всех отрицательных чисел.
Также, чтобы получить второе число мы должны либо прибавить к S минимальное по модулю отрицательное либо отнять минимальное положительное. Разделим все числа на 2 группы: положительных и отрицательных. Тогда в какой-то группе по принципу Дирихле≥⌈n2⌉. Опять применив принцип Дирихле, получим что существует элемент по модулю ≤S⌈n2⌉. Это значит что второе число ≥S−S⌈n2⌉.
Приведем пример на получившуюся оценку:
Пусть изначально заданы ⌈n2⌉ чисел равных S⌈n2⌉, а все остальные числа равны −S⌊n2⌋.
Пусть x1≥x2≥...≥xm>0>xm+1≥xm+2...≥xn — n числа.
Поскольку все числа ненулевые, n>2 и ∑xi=0, имеем n>m≥1
Пусть S,T — два первых числа в строке:
S=∑mi=1xi и T=S−min
S=\sum_{i=1}^mx_i\ge mx_m и, следовательно, |x_m|\le\frac Sm
0=\sum_{i=1}^nx_i\le \sum_{i=1}^mx_i+(n-m)x_{m+1} и поэтому |x_{m+1}|\le \frac S{n-m }
Итак, \min(|x_m|,|x_{m+1}|)\le \min(\frac Sm,\frac S{n-m})=\frac S{\max(m,n-m)}
Итак, T\ge S-\frac S{\max(m,n-m)} и для наименьшего T мы ищем наименьший \max(m,n-m), который равен \left\ lceil\frac n2\right\rceil
И это наименьшее значение действительно может быть достигнуто, например, с помощью чисел:
\overbrace{\frac S{\left\lceil\frac n2\right\rceil},\cdots,\frac S{\left\lceil\frac n2\right\rceil}}^{\times\left\lceil\ frac n2\right\rceil},\overbrace{-\frac S{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor},\cdots,-\frac S{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}} ^{\times\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}
Следовательно, ответ \boxed{S-\frac S{\left\lceil\frac n2\right\rceil}}
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.