Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Сколькими способами можно заполнить цифрами $0, 1, \ldots, 9$ (можно с повторениями) таблицу $3\times 3$ так, чтобы сумма цифр в каждой строке и каждом столбце равнялась 5?

Комментарий/решение

Доска небольшая, клетки заполняются цифрами от 0 до 5 - тоже не очень много. Понятно, что задачу нужно решать грамотно организованным перебором.

Заметим, что 4 цифры находящиеся в левом верхнем квадрате 2х2 могут полностью определить всю доску:

$$\begin{matrix}a& b& 5-a-b\\ c& d& 5-c-d\\ 5-a-c& 5-b-d& a+b+c+d-5 \end{matrix}$$

Чтобы цифры $a, b, c, d\in\{0,1,2,3,4,5\}$ образовывали удовлетворяющий условиям задачи таблицу, необходимо и достаточно выполнения условий $a+b \leqslant 5,\, c+d \leqslant 5,\, a+c \leqslant 5,\, b+d \leqslant 5,\, a+b+c+d \geqslant 5$.

Для облегчения перебора можно рассмотреть два случая - когда в верхней строке цифры $\,a\,$ и $\,b\,$ различны и когда они одинаковы. В первом случае можно предположить $a>b$ затем умножить количество получившихся вариантов на 2.

В конце должен выйти ответ в 250 способов.

Перебор выглядит примерно так: