Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышында $AK$ биссектрисасы жүргiзiлген. $AB$ және $AC$ түзулерiнен сәйкесiнше $E$ және $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) нүктелерi алынған. $E$ және $D$ нүктелерi $BC$ түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және $EB = BK$, $CD = CK$. Егер $EBCD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесi $AK$ түзуiнiң бойында жатса, онда $AB=AC$ болатынын дәлелдеңiз. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Давайте возьмем точки $E$ и $D$ на отрезках $AB$ и $AC$ Заметим что $AK, CE, BD$ это чевианы треугольника $ABC$ которые пересекаются в одной точке. Тогда по Теореме Чевы : $AD/DC * CK/KB * BE/AE =1$ . Сократив равные стороны у нас выходит что $AD= AE$. Теперь по теореме Биссектрис у нас выходит что $(AD+DC)/CK = (AE+EB)/KB.$ Из этого у нас выходит что $AE+EB=AD+DC$, а эти суммы это и есть стороны $AB$ и $AC.$

1) Үшбұрыш $ABC$ тең бүйірлі, яғни $AB = BC$ болсын деп ұйғарайық, олай болса $BK=CK$.

2) Есеп шарты бойынша $EV = VK$, $SD = SK$, ендеше $EV = SD$. Демек, $EVSD$ төртбұрышы тең бүйірлі трапеция болып табылады.

3) $VD\cap AK = 0$ болсын, онда $ES\cap AK = 0$ болады, өйткені $EV = SD$. Сонымен $EVSD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесі $AK$ түзуінің бойында жатады.

Қорытынды: Жасалған ұйғарым дұрыс, демек $AB = AC$. д.к.о.е.