Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 9 класс

Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один математик?

Комментарий/решение

Бізде 2 жағдай бар.Бірінші кезде 1 математик және 7 экономист.Екінші кезде 2 математик 6 экономист.

1)Егерде 1 математик болса экономистті 10!:(7!*3!) 120 амалмен таңдай аламыз

2)Егерде 2 математик болса экономистті 10!:(6!*4!)210 амалмен таңдай аламыз

Жауабы:1 жағдайда біз математикті 2 амалмен таңдай аламыз.Сондықтан:2*120+210=450

Дұрыс па?

Бірінші шешу:}

1) Көбейту ережесі бойынша бір математик пен жеті экономисті таңдау тәсілінің саны: $C_2^1 \times C_{10}^7 = 2 \times 120 = 240$.

2) Көбейту ережесі бойынша екі математик пен алты экономисті таңдау тәсілінің саны: $C_2^2 \times C_{10}^6 = 1 \times 210 = 210$.

3) Қосу ережесі бойынша бір математик пен жеті экономисті таңдау тәсілінің жалпы саны: $C_2^1 \times C_{10}^7 + C_2^2 \times C_{10}^6 = 240 + 210 = 450$.

\textbf{Екінші шешу:}

1) Комиссия құрамы тек экономистерден тұруы үшін, бізде 10 экономисттен таңдау тәсілінің санын табу керек: $C_{10}^8 = C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{1 \times 2} = 45$.

2) Комиссия құрамында бір математик бар болуы үшін, біздің алу жолымыз $C_{12}^8 - C_{10}^8$ тәсілмен таңдау тәсілінің санын береді: $C_{12}^8 - C_{10}^8 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} - 45 = 495 - 45 = 450$.

Сондықтан, екінші шешуді де келісімге келтіреміз: 450.

$С^1_{2} \cdot С^7_{10} + С^2_{2}\cdot С^6_{10} =2 \cdot \frac{10!}{7! \cdot 3!}+1\cdot \frac{10!}{6! \cdot 4!}=240+210=450 \text{ Жауабы: 450}$