Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур дистанционного этапа

Вася расставил по кругу все натуральные числа от 1 до 100 в каком-то порядке. Скажем, что число хорошо стоит, если соседнее с ним число по часовой стрелке больше, чем соседнее с ним число против часовой стрелки. Могло ли оказаться, что хорошо стоят по крайней мере 99 чисел? ( И. Рубанов, А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. I Раскрасим числа в черный и белый цвета так, чтобы цвета чередовались. Тогда не будут хорошо стоять черное число, у которого соседним по часовой стрелке будет наименьшее белое число, и белое число, у которого соседним по часовой стрелке будет наименьшее черное число, так что всего хорошо стоящих чисел не больше 98.
Решение. II Рассмотрим число $x$, после которого по часовой стрелке идет единица. Оно не хорошо стоящее. Допустим, остальные числа стоят хорошо. Тогда после единицы по часовой стрелке идет число, не меньшее, чем $x+1$, за ним — какое-то хорошо стоящее число $y$, после которого идет число, не меньшее, чем $x+2$ и т. д. Сделав 49 таких шагов, мы получим число, не меньшее, чем $x+49$, после которого идет какое-то число $z$, а за ним — $x$. Но тогда получается, что число $z$ — не хорошо стоящее, и, следовательно, хорошо стоящих чисел не более 98. am Ровно 98 хорошо стоящих чисел получится, если записать по часовой стрелке все числа от 1 до 100 в порядке возрастания: хорошо стоящими будут все числа, кроме 1 и 100.