Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур дистанционного этапа

Вася 100-ге дейінгі барлық натурал сандарды шеңбер бойына қандай да бір ретпен орналастырды. Егер шеңбердегі қандай да бір санның сағат тілі бағытымен орналасқан көршісі сағат тілі бағытына қарсы орналасқан көршісінен үлкен болса, сол санды лайықты орналасқан деп сан атаймыз. Шеңбер бойында кем дегенде 99 сан лайықты орналасуы мүмкін ба? ( И. Рубанов, А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. I Раскрасим числа в черный и белый цвета так, чтобы цвета чередовались. Тогда не будут хорошо стоять черное число, у которого соседним по часовой стрелке будет наименьшее белое число, и белое число, у которого соседним по часовой стрелке будет наименьшее черное число, так что всего хорошо стоящих чисел не больше 98.
Решение. II Рассмотрим число $x$, после которого по часовой стрелке идет единица. Оно не хорошо стоящее. Допустим, остальные числа стоят хорошо. Тогда после единицы по часовой стрелке идет число, не меньшее, чем $x+1$, за ним — какое-то хорошо стоящее число $y$, после которого идет число, не меньшее, чем $x+2$ и т. д. Сделав 49 таких шагов, мы получим число, не меньшее, чем $x+49$, после которого идет какое-то число $z$, а за ним — $x$. Но тогда получается, что число $z$ — не хорошо стоящее, и, следовательно, хорошо стоящих чисел не более 98. am Ровно 98 хорошо стоящих чисел получится, если записать по часовой стрелке все числа от 1 до 100 в порядке возрастания: хорошо стоящими будут все числа, кроме 1 и 100.