Решения: Дистанционные олимпиады, Иранская олимпиада по геометрии

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

На сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ,

$DA$ квадрата

$ABCD$ выбраны точки

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ соответственно так, что площадь четырёхугольника

$KLMN$ в два раза меньше площади квадрата

$ABCD$ . Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника

$KLMN$ параллельна одной из сторон квадрата

$ABCD$ .

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

delimostna3

1 года 6 месяца назад #

допустим в квадрате ABCD нашелся четырехугольник KLMN что его площадь в два раза

меньше площади квадрата. Возьмем T на AB что MT||AD. Тогда площади TLMN=KLMN значит если проведем высоты на NL из точек T,K H1, H2 соответственно, то высоты будут равны так как NL общая. Но тогда KH2=TH1 и KH2||TH1 значит TKH1H2- параллелограмм значит TK||H1H2 откуда следует что NL||AB противоречие. Значит одна из диагоналей гарантированно параллельна стороне квадрата #.

delimostna3