8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

$ABCD$ квадратының $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларында сәйкесінше $K$, $L$, $M$, $N$ нүктелері алынған. $KLMN$ төртбұрышының ауданы $ABCD$-ның ауданының жартысана тең. $KLMN$ төртбұрышының қандай да бір диагоналі $ABCD$ квадратының қандай да бір қабырғасына параллель екенін дәлелде.

Комментарий/решение

допустим в квадрате ABCD нашелся четырехугольник KLMN что его площадь в два раза

меньше площади квадрата. Возьмем T на AB что MT||AD. Тогда площади TLMN=KLMN значит если проведем высоты на NL из точек T,K H1, H2 соответственно, то высоты будут равны так как NL общая. Но тогда KH2=TH1 и KH2||TH1 значит TKH1H2- параллелограмм значит TK||H1H2 откуда следует что NL||AB противоречие. Значит одна из диагоналей гарантированно параллельна стороне квадрата #.