8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Сложите четыре фигуры, изображённые на рисунке ниже, вместе так, чтобы получилась фигура, имеющая две оси симметрии.

комментарий/решение(1)

Задача №2. На сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ,

$DA$ квадрата

$ABCD$ выбраны точки

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ соответственно так, что площадь четырёхугольника

$KLMN$ в два раза меньше площади квадрата

$ABCD$ . Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника

$KLMN$ параллельна одной из сторон квадрата

$ABCD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Назовём сердцем фигуру, состоящую из трёх полуокружностей с диаметрами

$AB$ ,

$BC$ и

$AC$ , где точка

$B$ является серединой отрезка

$AC$ (см. рисунок).
Дано сердце

$\omega$ . Назовём пару точек

$(P,P')$ удачной, если

$P$ и

$P'$ лежат на

$\omega$ и делят его периметр пополам. Пусть пары

$(P,P')$ и

$(Q,Q')$ являются удачными. Касательные в точках

$P$ ,

$P’$ ,

$Q$ и

$Q’$ к

$\omega$ в пересечении образуют выпуклый четырёхугольник

$XYZT$ . Оказалось, что он является вписанным. Найдите угол между прямыми

$PP’$ и

$QQ’$ .

комментарий/решение(1)

Задача №4. На стороне

$CD$ равнобокой трапеции

$ABCD$ (

$AB\parallel CD$ ) выбраны точки

$E$ и

$F$ так, что

$DE=CF$ (точки расположены на прямой

$CD$ в порядке

$D$ ,

$E$ ,

$F$ ,

$C$ ). Точки

$X$ и

$Y$ симметричны

$E$ и

$C$ относительно прямых

$AD$ и

$AF$ соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников

$ADF$ и

$BXY$ , имеют общий центр.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Точки

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$…$ ,

$A_{2021}$ расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и

$\angle A_1A_2A_3+\angle A_2A_3A_4+\dots +\angle A_{2021}A_1A_2=360^\circ,$ где под

$\angle A_{i-1} A_i A_{i+1}$ подразумевается угол, меньший

$180^{\circ}$ (здесь

$A_{2022}=A_1$ и

$A_0=A_{2021}$ ). Докажите, что сумма некоторых из этих углов равна

$90^\circ$ .
комментарий/решение(1)