8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. Сложите четыре фигуры, изображённые на рисунке ниже, вместе так, чтобы получилась фигура, имеющая две оси симметрии.

комментарий/решение(1)

---

Задача №2. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ квадрата $ABCD$ выбраны точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно так, что площадь четырёхугольника $KLMN$ в два раза меньше площади квадрата $ABCD$. Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника $KLMN$ параллельна одной из сторон квадрата $ABCD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Назовём сердцем фигуру, состоящую из трёх полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$ и $AC$, где точка $B$ является серединой отрезка $AC$ (см. рисунок).
   Дано сердце $\omega$. Назовём пару точек $(P,P')$ удачной, если $P$ и $P'$ лежат на $\omega$ и делят его периметр пополам. Пусть пары $(P,P')$ и $(Q,Q')$ являются удачными. Касательные в точках $P$, $P’$, $Q$ и $Q’$ к $\omega$ в пересечении образуют выпуклый четырёхугольник $XYZT$. Оказалось, что он является вписанным. Найдите угол между прямыми $PP’$ и $QQ’$.

комментарий/решение(1)

---

Задача №4. На стороне $CD$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB\parallel CD$) выбраны точки $E$ и $F$ так, что $DE=CF$ (точки расположены на прямой $CD$ в порядке $D$, $E$, $F$, $C$). Точки $X$ и $Y$ симметричны $E$ и $C$ относительно прямых $AD$ и $AF$ соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ADF$ и $BXY$, имеют общий центр.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. Точки $A_1$, $A_2$, $…$, $A_{2021}$ расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и $$\angle A_1A_2A_3+\angle A_2A_3A_4+\dots +\angle A_{2021}A_1A_2=360^\circ,$$ где под $\angle A_{i-1} A_i A_{i+1}$ подразумевается угол, меньший $180^{\circ}$ (здесь $A_{2022}=A_1$ и $A_0=A_{2021}$). Докажите, что сумма некоторых из этих углов равна $90^\circ$.
комментарий/решение(1)

---