8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

Есеп №1. Төмендегі суретте көрсетілген төрт фигураны қосып, екі симметрия өсі болатын фигура шығарыңыз.

комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABCD$ квадратының

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ,

$DA$ қабырғаларында сәйкесінше

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ нүктелері алынған.

$KLMN$ төртбұрышының ауданы

$ABCD$ -ның ауданының жартысана тең.

$KLMN$ төртбұрышының қандай да бір диагоналі

$ABCD$ квадратының қандай да бір қабырғасына параллель екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жүрек фигурасы деп, диаметрлері

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ болатын үш жартышеңберлерден тұратын, бұл жерде

$B$ нүктесі

$AC$ -ның ортасы, фигураны айтамыз (төмендегі сур. қара).
Бізге

$\omega$ жүрек фигурасы берілсін.

$P$ және

$P'$ нүктелері

$\omega$ -да жатып, және оның периметрін тең екі бөлікке бөлсе,

$(P,P')$ нүкте жұптарын сәтті деп атаймыз.

$(P,P')$ және

$(Q,Q')$ сәтті жұптары болсын.

$\omega$ -ға

$P$ ,

$P’$ ,

$Q$ және

$Q’$ нүктелерінде жүргізілген жанама түзулер дөңес

$XYZT$ төртбұрышын шектейді. Егер

$XYZT$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған болса,

$PP’$ және

$QQ’$ түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теңбүйірлі

$ABCD$ трапециясының (

$AB\parallel CD$ )

$CD$ қабырғасынан

$E$ және

$F$ нүктелері

$DE=CF$ болатындай алынған, және олар

$D$ ,

$E$ ,

$F$ және

$C$ ретімен жүреді.

$X$ нүктесі

$E$ нүктесіне

$AD$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте,

$Y$ нүктесі

$C$ нүктесіне

$AF$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте.

$ADF$ және

$BXY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттесетінін дәлелелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Жазықтықтағы

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$\ldots$ ,

$A_{2021}$ нүктелерінің ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайды, және олар үшін

$\angle A_1A_2A_3+\angle A_2A_3A_4+\dots +\angle A_{2021}A_1A_2=360^\circ$ теңдігі орындалады. Барлық

$i=1, 2, \ldots, 2021$ үшін барлық

$\angle A_{i-1} A_i A_{i+1}$ бұрыштары

$180^{\circ}$ -тан кіші (бұл жерде

$A_{2022}=A_1$ және

$A_0=A_{2021}$ деп санаңыз). Осы бұрыштардың кейбіреулерінің қосындысы

$90^\circ$ -қа тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)