8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

Есеп №1. Төмендегі суретте көрсетілген төрт фигураны қосып, екі симметрия өсі болатын фигура шығарыңыз.

Есеп №2. $ABCD$ квадратының $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларында сәйкесінше $K$, $L$, $M$, $N$ нүктелері алынған. $KLMN$ төртбұрышының ауданы $ABCD$-ның ауданының жартысана тең. $KLMN$ төртбұрышының қандай да бір диагоналі $ABCD$ квадратының қандай да бір қабырғасына параллель екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жүрек фигурасы деп, диаметрлері $AB$, $BC$ және $AC$ болатын үш жартышеңберлерден тұратын, бұл жерде $B$ нүктесі $AC$-ның ортасы, фигураны айтамыз (төмендегі сур. қара).
Бізге $\omega$ жүрек фигурасы берілсін. $P$ және $P'$ нүктелері $\omega$-да жатып, және оның периметрін тең екі бөлікке бөлсе, $(P,P')$ нүкте жұптарын сәтті деп атаймыз. $(P,P')$ және $(Q,Q')$ сәтті жұптары болсын. $\omega$-ға $P$, $P’$, $Q$ және $Q’$ нүктелерінде жүргізілген жанама түзулер дөңес $XYZT$ төртбұрышын шектейді. Егер $XYZT$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған болса, $PP’$ және $QQ’$ түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теңбүйірлі $ABCD$ трапециясының ($AB\parallel CD$) $CD$ қабырғасынан $E$ және $F$ нүктелері $DE=CF$ болатындай алынған, және олар $D$, $E$, $F$ және $C$ ретімен жүреді. $X$ нүктесі $E$ нүктесіне $AD$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте, $Y$ нүктесі $C$ нүктесіне $AF$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. $ADF$ және $BXY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттесетінін дәлелелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Жазықтықтағы $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2021}$ нүктелерінің ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайды, және олар үшін $\angle A_1A_2A_3+\angle A_2A_3A_4+\dots +\angle A_{2021}A_1A_2=360^\circ$ теңдігі орындалады. Барлық $i=1, 2, \ldots, 2021$ үшін барлық $\angle A_{i-1} A_i A_{i+1}$ бұрыштары $180^{\circ}$-тан кіші (бұл жерде $A_{2022}=A_1$ және $A_0=A_{2021}$ деп санаңыз). Осы бұрыштардың кейбіреулерінің қосындысы $90^\circ$-қа тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)