Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

$ABC$ сүйiрбұрышты үшбұрышында $AD$ биiктiгi жүргiзiлдi. $2CD = BD$ екенi белгiлi. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң бойынан $AK \parallel BC$ болатындай $K \ne A$ нүктесi алынсын. $S$ — $AB$ қабырғасының ортасы болсын. $SK$ түзуi $BC$ түзуiне перпендикуляр болатынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

Пусть $KS \cap BC=T.$

Т.к $BKAC$ вписанный еще $AK \parallel BC \Rightarrow BKAC$ равнобокая трапеция и $AC=KB.$

Т.к $AK \parallel BC \Rightarrow \triangle BST \sim \triangle ASK, \dfrac{AS}{BS}=1 \Rightarrow BT=AK, ST=SK.$

Заметим что $BKAT$ параллелограмм т.к $S$ середина диоганали$AB$ и $KT \Rightarrow KB=AT=AC \Rightarrow \triangle ATC$равнобедренный , $AD$ высота и медиана $CD=DT$, из условии выходит что $BT=TD$, $TS$ средняя линия $\triangle BAD \Rightarrow TS \parallel AD \Rightarrow \angle KTD=90$ ч.т.д

Пусть $T$ − основание перпендикуляра из $K$ на $BC$. Заметим, что $KACB$ - равнобокая трапеция. Тогда в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к $BC$, получим, что $BT=CD$. Так как $BD=BT+TD=2CD$, то получаем, что $TD=CD=BD$. Следовательно, $T$ - середина $BD$ и как следствие $ST$ будет перпендикулярна $BC$. Но тогда $K,S,T$ лежат на одной прямой, что завершает доказательство.

Давайте рассмотрим данный остроугольный треугольник $ABC$ и проведём высоту из вершины $A$ на гипотенузу $BC$, обозначим её как $AD$. Также, пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $M$ — середина отрезка $BC$.

Из условия задачи, точка $P$ находится на описанной окружности, и угол $\angle BPC = 90^\circ$. Также, по условию, $AP$ — диаметр окружности, а следовательно, угол $\angle APO = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BPC$. Мы знаем, что угол $\angle BPC$ прямой, и угол $\angle APO$ также прямой. Следовательно, угол $\angle BPC$ равен углу $\angle APO$.

Так как $\angle BPC = \angle APO$ и углы, соответственно равные, имеют равные косинусы, то $\cos(\angle BPC) = \cos(\angle APO)$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $AOP$. У нас есть следующие соотношения:

$$\cos(\angle BAC) = \cos(\angle BPC)$$

и

$$\cos(\angle BAC) = \cos(\angle APO)$$ .

Таким образом, $\cos(\angle BPC) = \cos(\angle APO) = \cos(\angle BAC)$. Это означает, что отрезок $AO$ перпендикулярен отрезку $BC$, так как $\cos(\angle BAC) = \frac{AO}{AB}$, и угол $\angle BAC$ острый (по условию треугольника $ABC$).

Итак, мы доказали, что прямая $AO$ (продолжение высоты $AD$) перпендикулярна прямой $BC$.