Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Сравнить числа $\cos(\sin(2005))$ и $\sin(\cos(2005))$.

Комментарий/решение

Ответ : $\cos(\sin (2005))>\sin (\cos (2005))$

Решение . $\cos x\in [-1;1] $ и $\sin x\in [-1;1] $, значит $\sin 2005\in [-1;1];\cos 2005\in [-1;1] $так как 1 градус- угол малый, то $\sin(\cos (2005)) $ приблизительно равен нулю, а $ \cos (\sin (2005)) $ приблизительно равен единице .

Вероятно угол в радианах

Покажем что $\cos (\sin x)>\sin (\cos x)$ для любых $x \in \mathbb{R}$.

Запишем разность левой и правой части неравенства. Далее через формулы приведения приходим к косинусу:

$\cos (\sin x) - \sin(\cos x)=\cos (\sin x) - \cos(\pi/2-\cos x)$

Переходим от разности к произведению:

$$−2 \sin \left(\dfrac{\sin x + \pi/2 - \cos x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\sin x - \pi/2 + \cos x}{2}\right)=$$ $$=−2 \sin \left(\dfrac{\pi/2 + \sqrt{2}\sin (x-\pi/4)}{2}\right)\sin\left(\dfrac{- \pi/2 + \sqrt{2}\sin (x + \pi/4)}{2}\right)$$

Получившееся выражение строго больше нуля при любом $x$, что следует из неравенства $\dfrac{\pi}{2}>\sqrt{2}$.

i_Ответ_i: $\cos(\sin(2005))>\sin(\cos(2005))$.