Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс
Сравнить числа cos(sin(2005)) и sin(cos(2005)).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Покажем что cos(sinx)>sin(cosx) для любых x∈R.
Запишем разность левой и правой части неравенства. Далее через формулы приведения приходим к косинусу:
cos(sinx)−sin(cosx)=cos(sinx)−cos(π/2−cosx)
Переходим от разности к произведению:
−2sin(sinx+π/2−cosx2)sin(sinx−π/2+cosx2)= =−2sin(π/2+√2sin(x−π/4)2)sin(−π/2+√2sin(x+π/4)2)
Получившееся выражение строго больше нуля при любом x, что следует из неравенства π2>√2.
i_Ответ_i: cos(sin(2005))>sin(cos(2005)).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.