Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено равенство $CD-AB=BC$. Внешняя биссектриса угла $B$ и внутренняя биссектриса угла $C$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что $MA=MD$.

Комментарий/решение

$CD=AB+BC$

Главная идея это обозначить такую точку $L$ в $CD$ так что бы оно делило $CD$ на $AB$ и $BC$, дальше по равенствам треугольников.

На луче СВ за точку В отметим точку К такую, что АВ = ВК. Тогда АВК равнобедренный и CD = AB + BC = BK + ВС = КС, то есть ДС также равнобедренный. Следовательно, прямые В М и СМ являются серединными перпендикулярами отрезков АК и KD соответственно. Поэтому M центр описанной окружности треугольника АКД, откуда и следует равенство MA = MD.

На $CD$ отметим точку $N$ так чтобы $CN = AB ; ND = AB$. $\triangle MCN = \triangle MCB$ так как $MC$ общая сторона , $CN = CB$ и $ \angle NCM = \angle BCM$ $\Rightarrow MN = MB ; \angle MNC = \angle MBC \Rightarrow \triangle MCD = \triangle MBA$ так как $MN = MB ; ND = AB ; 180 - \angle MNC = 180 - \angle 2\angle CBM + \angle CBM = \angle MND = \angle MBA \Rightarrow MD = MA$