Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.

Задача №1. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ выполнено равенство

$CD-AB=BC$ . Внешняя биссектриса угла

$B$ и внутренняя биссектриса угла

$C$ пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что

$MA=MD$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Решите систему уравнений в действительных числах:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} - 12{b^2} + 48b - 64 = 0,}\\ {{b^3} - 12{c^2} + 48c - 64 = 0,}\\ {{c^3} - 12{a^2} + 48a - 64 = 0.} \end{array}} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дано целое число

$n\ge 1$ и множество

$S=\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ . Для непустого подмножества

$T$ множества

$S$ , определим

$f\left( T \right)=\frac{1}{n+m-M},$ где

$m$ и

$M$ соответственно наименьший и наибольший элементы

$T$ . Пусть

${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{k}}$ — все непустые подмножества множества

$S$ . Найдите сумму

$f\left( {{A}_{1}} \right)+f\left( {{A}_{2}} \right)+\ldots +f\left( {{A}_{k}} \right)$ .
комментарий/решение(1)