қазақша
русскийЮниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.
Задача №1. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено равенство $CD-AB=BC$. Внешняя биссектриса угла $B$ и внутренняя биссектриса угла $C$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что $MA=MD$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Решите систему уравнений в действительных числах: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} - 12{b^2} + 48b - 64 = 0,}\\ {{b^3} - 12{c^2} + 48c - 64 = 0,}\\ {{c^3} - 12{a^2} + 48a - 64 = 0.} \end{array}} \right.\]
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дано целое число $n\ge 1$ и множество $S=\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$. Для непустого подмножества $T$ множества $S$, определим $f\left( T \right)=\frac{1}{n+m-M},$ где $m$ и $M$ соответственно наименьший и наибольший элементы $T$. Пусть ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{k}}$ — все непустые подмножества множества $S$. Найдите сумму $f\left( {{A}_{1}} \right)+f\left( {{A}_{2}} \right)+\ldots +f\left( {{A}_{k}} \right)$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)