Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.

Есеп №1.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$CD-AB=BC$ теңдігі орындалады.

$B$ бұрышының сыртқы биссектрисасы мен

$C$ бұрышының ішкі биссектрисасы

$M$ нүктесінде қиылысады.

$MA=MD$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Теңдеулер жүйесін нақты сандар жиынында шешіңіз:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} - 12{b^2} + 48b - 64 = 0,}\\ {{b^3} - 12{c^2} + 48c - 64 = 0,}\\ {{c^3} - 12{a^2} + 48a - 64 = 0.} \end{array}} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$n\ge 1$ бүтін саны мен

$S=\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ жиыны берілген.

$S$ жиынының бос емес ішкі

$T$ жиыны үшін

$f(T)$ арқылы

$f\left( T \right)=\frac{1}{n+m-M}$ санын белгілейік, бұл жерде

$m$ және

$M$ сандары \mbox{

$T$ -ның} сәйкесінше ең кіші және ең үлкен элементтері.

${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots ,{{A}_{k}}$ арқылы

$S$ жиынының барлық бос емес ішкі жиындарын белгілейік.

$f\left( {{A}_{1}} \right)+f\left( {{A}_{2}} \right)+\ldots +f({{A}_{k}}$ ) қосындысын табыңыз.
комментарий/решение(1)