Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.
ABCD дөңес төртбұрышында CD−AB=BC теңдігі орындалады. B бұрышының сыртқы биссектрисасы мен C бұрышының ішкі биссектрисасы M нүктесінде қиылысады. MA=MD екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
На луче СВ за точку В отметим точку К такую, что АВ = ВК. Тогда АВК равнобедренный и CD = AB + BC = BK + ВС = КС, то есть ДС также равнобедренный. Следовательно, прямые В М и СМ являются серединными перпендикулярами отрезков АК и KD соответственно. Поэтому M центр описанной окружности треугольника АКД, откуда и следует равенство MA = MD.
На CD отметим точку N так чтобы CN=AB;ND=AB. △MCN=△MCB так как MC общая сторона , CN=CB и ∠NCM=∠BCM ⇒MN=MB;∠MNC=∠MBC⇒△MCD=△MBA так как MN=MB;ND=AB;180−∠MNC=180−∠2∠CBM+∠CBM=∠MND=∠MBA⇒MD=MA
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.