Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында $CD-AB=BC$ теңдігі орындалады. $B$ бұрышының сыртқы биссектрисасы мен $C$ бұрышының ішкі биссектрисасы $M$ нүктесінде қиылысады. $MA=MD$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$CD=AB+BC$

Главная идея это обозначить такую точку $L$ в $CD$ так что бы оно делило $CD$ на $AB$ и $BC$, дальше по равенствам треугольников.

На луче СВ за точку В отметим точку К такую, что АВ = ВК. Тогда АВК равнобедренный и CD = AB + BC = BK + ВС = КС, то есть ДС также равнобедренный. Следовательно, прямые В М и СМ являются серединными перпендикулярами отрезков АК и KD соответственно. Поэтому M центр описанной окружности треугольника АКД, откуда и следует равенство MA = MD.