Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год

$AB=BD=AF$ болатындай $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасының жалғасында $B$ нүктесінен кейін $D$ нүктесі таңдалған, мұндағы $F$ нүктесі — $BC$ ортасы. $AC$ қабырғасымен $E$ нүктесінде қиылысатындай $DF$ кесіндісін созды. $CE=CF$ болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Думаю здесь опечатка место $CE=CF$ должно быть $CE=EF$

походу реально $CE = CF$

док-во:

$\angle AFB = \angle ABF = \alpha (\triangle AFB$ - равнобедренный)

$angle AFC = \angle FBD = 180 - \alpha$

чисто юзаем равенство треугольников$ \triangle ACF = \triangle DFB$ по первому признаку

$CF = FB$

$AF=BD $

$\angle AFC = \angle FBD$

$\angle AFC = \angle FBD$

Следует $\angle ACF = \angle BFD , \angle BFD = \angle AFC \Rightarrow \triangle ECF$ - равнобедренный