Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс

Школьник выбрал два целых положительных числа $m$ и $n$. Он называет целое положительное число $k$ $\it{хорошим}$, если из отрезков длинами $\log _3m$, $\log _3n$ и $\log _3k$ можно построить треугольник. Он нашел все хорошие числа, их оказалось ровно 100. Найдите максимально возможное значение $m$.

Комментарий/решение

$\log_{3}⁡m + \log_{3}⁡n>\log_{3}⁡k$

$3^{ \log_{3}⁡m + \log_{3}⁡n}> 3^{\log_{3}⁡k}$

$3^{\log_{3}⁡m}*3^{\log_{3⁡}m} > 3^{\log_{3}⁡k}$

$m*n>k$

Заметим что только при 101 > k уравнение имеет 100 решений, значит m*n=101.

Очевидно что m меньше или равен 101.