Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 11 сынып

Оқушы екі оң бүтін $m$ және $n$ сандарын таңдап алды. Егер ұзындықтары ${{\log }_{3}}m,\text{ }{{\log }_{3}}n$ және ${{\log }_{3}}k$ болатын кесінділерден үшбұрыш құрауға болатын болса, онда ол оң бүтін $k$ санын жақсы дейді. Ол барлығы дәл 100 жақсы сан бар екенін анықтаса, $mn$ санының максимал мүмкін мәнін табыңыздар.

Комментарий/решение

$\log_{3}⁡m + \log_{3}⁡n>\log_{3}⁡k$

$3^{ \log_{3}⁡m + \log_{3}⁡n}> 3^{\log_{3}⁡k}$

$3^{\log_{3}⁡m}*3^{\log_{3⁡}m} > 3^{\log_{3}⁡k}$

$m*n>k$

Заметим что только при 101 > k уравнение имеет 100 решений, значит m*n=101.

Очевидно что m меньше или равен 101.