5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Клетчатый прямоугольник со сторонами больше одной клетки разбит на доминошки (прямоугольники $1 \times 2$). Пусть $A$ — количество квадратов $2 \times 2$, состоящих из двух доминошек, $B$ — количество квадратов $2 \times 2$, состоящих из клеток четырех разных доминошек. Докажите, что $A > B$.

Комментарий/решение

Скажем что у нас таблица k×t. Соответственно, заметим следующее:

Если С- кол во квадратов 2×2 в которых 3 домино, то А+Б+С=кол во квадратов 2×2, это (k-1)(t-1). Теперь посмотрим следующую картину:

У нас каждая домино может быть частью квадрата 2×2, так что она полностью лежит там. И причём для каждогй доминошки максимум 2 таких квадрата. Соответственно, это будут квадраты вида А и С. Но заметим что мы каждую Ашку посчитали 2 раза. А также у доминошек на краях, существуют ровно 1 такой квадрат. Пусть на краях их Х. Тогда по краям клеток всего 2к+2t-4, соответственно на краях максимум k+t-2 домино. Значит можно понять следующее:

А+С=2×всего доминошек(kt/2)-X-A>=kt-k-t+2-A

2A+C>=kt-k-t+2

Всего квадратов 2×2 ровно kt-k-t+1=A+B+C

Значит 2A+C>=kt-k-t+2>kt-k-t+1=A+B+C

A>B. Доказал спустя 3 года после участия

Хорош