5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Треугольник $ABC$, в котором $AB=AC$, будем называть равнобедренным треугольником при вершине $A$. Дана звезда, в которой отмечены треугольники с номерами 1, 2, 3, 4, 5, имеющие вершины $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ соответственно. Могло ли оказаться так, что треугольники 1, 3, 5 являются равнобедренными при вершинах $A_1$, $A_3$, $A_5$ соответственно, а треугольники 2 и 4 также являются равнобедренными, но не при вершинах $A_2$, $A_4$ соответственно.

Комментарий/решение

Рассмотрим два случая

1 случай)

когда угол A4A2A5 равен углу A2BA3(пусть B точка пересечения А1А3 с А2А5),возьмем угол А4А2А5 за альфа=>угол А3А5А2 равен 180-3альфа,но он также равен 180-2 альфа. Противоречие.

2 случай)

пусть С точка пересечения А1А3 с А2А4.пусть угол А5А2А4=углу А2СА1=альфа.=>угол А2ДА5=180-альфа(д точка пересечения А3А5 с А2А4),но тогда угол A3A5A2 равен нулю. Противоречие. Случаи с треугольником 4 аналогичны