21-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2022 жыл
Комментарий/решение:
Так как ∠BAC=∠DAL значит ∠LBC=∠EDL, с этого CEDB равнобокаы трапеция.CE//BD−M,C,E на одной линии.Отрезки B,CE пересекаются на отрезке KL к точке G.Ну если точка M это пересечение CE на KL значит точка M и G это одна точка и по теореме паскаля BM это касательная.
Пусть прямая BM пересекает DK в точке S и описанная окружность треугольника BMC пересекает KL вторично в точке N. Пусть ∠BAC=∠DAL=∠BDC=α и ∠LAC=β.Тогда ∠DBC=∠DAC=α+β. Так как CM∥BD, то ∠BCM=∠DBC=α+β. Еще ∠BNM=∠BCM=α+β. Значит ∠LAB=∠BNM=α+β и ABNL - вписанный ⇒ KB⋅KA=KN⋅KL=KC⋅KD ⇒ LNCD - вписанный ⇒ ∠MNC=∠LDC=α ⇒ ∠CBM=∠CNM=∠BAC=α ⇒ BS касается окружности ω.
Поскольку ∠DBC=∠BCM, достаточно доказать, что △DBC∼△BCM⇔BCCM=DBBC⇔BC2=CM⋅BD. Через первый признак, вписанные углы и соответственные углы при параллельных, несложно доказать следующие подобия, и получающиеся из них соотношения.
△KCM∼△KDL⇒CM=LD⋅KCKD
△ABC∼△ALD⇒LD=BC⋅ADAC
△KAC∼△KDB⇒BD=AC⋅KBKC
△KBC∼△KDA⇒AD=BC⋅KDKB
Перемножая эти соотношения получаем требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.