Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

Найдите все действительные решения системы: $ \left\{ \begin{array}{rcl} x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y, \cr y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x. \cr \end{array} \right. $

Комментарий/решение

Вычитая с первого, второе уравнение

$(x-y)(xy+(x-1)^2 + (y-1)^2)=0$

1)$y=x$, $x^2=x^3-3x^2+2x$

$x^3-4x^2+2x=0$

$x=0,x^2-4x+2=0$

$x=2-\sqrt{2};y=2+\sqrt{2}$

Ответ $x=y=0,x=y=2+\sqrt{2},x=y=2-\sqrt{2}$

2)

Учитывая что $y^3-3y^2+2y \geq 0$

Откуда $x, y \geq 0$

Но тогда $xy+(x-1)^2+(y-1)^2=0$

Невозможен.