Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Жүйенің барлық нақты шешімдерін табыңыздар: $\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}={{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+2y, \\ {{y}^{2}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x. \\ \end{matrix} \right. $

Комментарий/решение

Вычитая с первого, второе уравнение

$(x-y)(xy+(x-1)^2 + (y-1)^2)=0$

1)$y=x$, $x^2=x^3-3x^2+2x$

$x^3-4x^2+2x=0$

$x=0,x^2-4x+2=0$

$x=2-\sqrt{2};y=2+\sqrt{2}$

Ответ $x=y=0,x=y=2+\sqrt{2},x=y=2-\sqrt{2}$

2)

Учитывая что $y^3-3y^2+2y \geq 0$

Откуда $x, y \geq 0$

Но тогда $xy+(x-1)^2+(y-1)^2=0$

Невозможен.