Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

только четыре хороших числа состоящих не менее чем из шести цифр:

$\boxed{A\in\{111112,211111,1111112,2111111\}}$

Возьмем наше число $A=\overline{a_1a_2…a_n}$

Тогда умножим столбиком $\overline{a_1a_2…a_n}$ на $\overline{a_1a_2…a_n}$. Тогда пусть первый перенос произошло при умножение $a_j \cdot a_i$, тогда при умножении столбиком $\overline{a_na_{n-1}…a_1}$ на $\overline{a_na_{n-1}…a_1}$, перенос при умножение $a_j \cdot a_i$ перенос пойдет на лево а потом первом умножение перенос должен пойти на право но переносы прибавляются на лево и отсюда переносов нету то есть каждый $a_j \leq 3$.

И дальше изи можно найти ответ $111112$