Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур заключительного этапа

Натуральные числа $a$, $b$ и $c$, большие 2022, таковы, что $a+b$ делится на $c-2022$, $a+c$ делится на $b-2022$, $b+c$ делится на $a-2022$. Какое наибольшее значение может принимать число $a+b+c$? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Натуральные числа $a$, $b$ и $c$, большие 2022, таковы, что $a+b$ делится на $c-2022$, $a+c$ делится на $b-2022$, $b+c$ делится на $a-2022$. Какое наибольшее значение может принимать число $a+b+c$? (С. Берлов)
Ответ. $2022 \cdot 85$.
Решение. Лемма. Для любых натуральных $d_1,$ $d_2,$ $d_3$ если $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3} < 1,$ то $1-(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3}) \ge \frac{1}{42}.$
Доказательство. Пусть $d_1 \le d_2 \le d_3$ и $d=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3}.$ Если $d_1 > 2$, то $d$ не превосходит $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{11}{12}.$ Если $d_1 = 2$ и $d_2 > 3,$ то $d$ не превосходит $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} = \frac{19}{20}.$ Наконец, если $d_1 = 2$ и $d_2=3,$ то $d$ не превосходит $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7} = \frac{41}{42}.$ Рассмотрим число $N = a+b+c-2022$. Оно кратно $a-2022,$ $b-2022$ и $c-2022.$ Пусть $$d_1 = \frac{N}{a-2022},\quad d_2 = \frac{N}{b-2022}, \quad d_3 = \frac{N}{c-2022}.$$ Тогда $\frac{N}{d_1}+\frac{N}{d_2}+\frac{N}{d_3} = N-4044,$ откуда $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_3} = 1-\frac{4044}{N}.$ По лемме $\frac{4044}{N} \ge \frac{1}{42},$ т. е. $N \le 2022 \cdot 84,$ откуда $a+b+c = N+2022 \le 2022 \cdot 85.$ Примеры получаются, если взять $N = 2022 \cdot 84$: $a-2022 = N/2$, откуда $a = 2022 \cdot 43;$ $b-2022 = N/3$, откуда $b = 2022 \cdot 29;$ $c-2022 = N/7$, откуда $c = 2022 \cdot 13.$