Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 9 сынып


a, b және c оң сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: a2+2b2+b2+2c2+c2+2a23(a+b+c).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

  3
3 года назад #

Давайте умножим обе части неравенства на √3. Тогда нам нужно доказать, что √3a²+6b² + √3b²+6c² + √3c²+6a² ≥ 3a+3b+3c. По нер-ву Коши заметим, что 3а²+6b²≥(a+2b)², то есть √3а²+6b²≥a+2b; √3b²+6c²≥b+2c; √3c²+6a²≥c+2a. Суммируя три неравенства получаем исходное, которое и нужно было доказать

  2
3 года назад #

бро избегает латех как может

  0
3 года назад #

Как он без Latex сделал «а» квадрат?

  0
3 года назад #

Word, I guess

  2
3 года назад #

Может быть, но я когда из ворда копирую, так не ставится

  3
3 года назад #

он написал решение на андроиде. а² а² а² б²

  1
3 года назад #

Bruh...

  4
3 года назад #

average LaTeX fan

  1
3 года назад #

ХАХААХАХ

  2
3 года назад #

Латех это шрифт ? Можно сыллку если есть <3

  1
3 года назад #

http://www.matol.kz/rules/3

лови аптечку

  2
3 года назад #

А что делать если формулы не работают? В предпросмотре все также написано типо \angle ABC и т.д

  4
3 года назад #

по бокам от формулы добавь $ с обеих сторон

  1
3 года назад #

У меня при скачиваний файла, вся картина черная, что делать?

  0
2 года 4 месяца назад #

она на самом деле прозрачная, там шрифт чёрный а фона нет, вот и кажется будто картинка чёрная, на самом деле она прозрачна

пред. Правка 3   5
3 года назад #

Интересно то что:

1) задачи области вышли на матоле, а районки нет;

2) первый раз на матоле показывается авторы задач области, до этого года такое не было;

3) из 2)-пункта выходит что 2-задача 10-класс не авторская, и скорее всего было взято из книги. Можно это развить и сказать что до этого года все задачи были полу-авторскими или фольклорными (но это не точно).

4) Теперь если вы хотите чтобы ваше имя осталось навсегда на матоле, у вас есть большие шансы. Только нужно придумать задачу на область и чтобы её приняли. А как вы видите в этом году задач было мало во всём 2-туре только 4 разных задачи(а в основном 7-9 различных задач). Значит это ещё увеличивает шанс.

ТАК-ЧТО ДЕРЗАЙТЕ

P.S. 5) На этом посте самое большое количество комментариев под 1 постом во всём matol-е

пред. Правка 2   1
3 года назад #

Может быть и другое объяснение к 4-пункту - админ матола сменился. До этого админ матола смотрел задачи и проверял (ставил значок "проверено модератором"), вовремя кидал задачи олимпиад, и не писал авторов задач области. А новый админ делает по-другому.

P.S. ещё новый админ не любит постить решение олимпиады.

  0
3 года назад #

абен го новый админ пацаны

  3
3 года назад #

Админ, если ты это читаешь, то ПЛИИИИЗ, ФИКСАНИ ПРОБЛЕМУ С ЗАГРУЗКОЙ КАРТИНОК, А ТО ГЛАЗА РЕЖУТ РЕШЕНИЯ ГЕОМЫ

  1
3 года назад #

ДААА, а ещё залей задачи на ЗКО 2014 , и ещё область 2022 11 класс первый тур первая задача там геома

  0
3 года назад #

Что, математики, революция?

  0
3 года назад #

в книге областных задач сказано что много задач взяты из книг, и олимпиад других республик, и иногда менялись

  1
3 года назад #

Делаем QMAM для (a,b,b) в каждой части, и задача решена.

пред. Правка 3   3
3 года назад #

По КБШ:

a21+a22++a2nb21+b22++b2na1b1+a2b2++anbn

В частности,12+12+12a2+b2+b2a+2b Проделываем то же самое для остальных корней и получим 3(a2+2b2+b2+2c2+c2+2a2)3(a+b+c) Переносим 3 и получаем требуемое.

  0
3 года назад #

a^2

  5
3 года назад #

Не пишите пожалуйста бессмысленные комментарии. Они будут удалятся, а при повторных случаях аккаунт Ваш придется заблокировать.

  1
3 года назад #

Ухты, как я говорил новый админ.

  0
3 года назад #

Ухты, как я говорил новый админ.

  1
3 года назад #

Кстати, могу покидать ссылки на решении где есть либо ошибка в условии, либо где есть спам

  1
3 года назад #

Кстати, выдает ошибку при попытке посмотреть решения пользователя rightways, выходит "500 Что-то пошло не так"

  0
3 года назад #

ДААА ЖИЗА АХХААХАХ

  1
3 года назад #

Устранено

  0
3 года назад #

Вы походу пропустили моё предложение

  0
2 года 11 месяца назад #

Можете удалить моё решение под эйлера 2015год, дистанционный этап, 1 тур, 4 задача

  2
2 года 11 месяца назад #

соглашусь с выше сказанным, уже давно стоит добавить функцию удаления комментария а не от стыда стирать его, хотя предыдущие версии комментария всегда видны.

  0
3 года назад #

По КБШ:

$(x_1^2+x_2^2+x_3^2...x_n^2)×(y_1^2+y_2^2+y_3^2...y_n^2)>=(x_1×y_1+x_2×y_2+x_3×y_3...x_n×y_n)^2 Рассмотрим три неравенства :

(a2+2b2)(b2+2c2)>=(ab+2bc)2,

(b2+2c2)(c2+2a2)>=(bc+2ac)2,

$(c^2+2a^2)(a^2+2b^2)>=

(ac+2ab)^2$

Если Взять В корни обе стороны всех троих неравенств и суммировать их то у нас получится:

(a2+2b2)(b2+2c2)+(b2+2c2)(c2+2a2)+(c2+2a2)(a2+2b2)>=3ab+3bc+3ac

Умножим данное на 2 и добавим в обе стороны ((a2+2b2))2,

((b2+2c2))2,

((c2+2a2))2

И у нас получится:

$$(√(a^2+2b^2))^2+(√(b^2+2c^2))^2+

(√(c^2+2a^2))^2+ 2√(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)+2√(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)+2√(c^2+2a^2)(a^2+2b^2)>=a^2+2b^2+b^2+2c^2+c^2+2a^2+6ab+6bc+6ac=3a^2+3b^2+3c^2+6ab+6bc+6ac=3(a+b+c)^2$$.

Левую сторону мы можем переписать в виде ((a2+2b2)+(b2+2c2)+(c2+2a2))2)

Если взять под корень обе стороны получившегося то у нас выйдет (a2+2b2)+(b2+2c2)(c2+2a2)>=3×(a+b+c)

Что нам и требовалась доказать.

  1
3 года назад #

научитесь расписывать, перед отправкой нажмите на предпросмотр и удостоверьтесь что все формулы написаны правильно!

  2
3 года назад #

Еще одно решение:

Возведем в квадрат: a2+2b2+b2+2c2+c2+2a2+2(a2+2b2)(b2+2c2)+2(b2+2c2)(c2+2a2)+2(c2+2a2)(a2+2b2) 3(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac)

Сокращаем 3(a2+b2+c2), затем все неравенство на 2, остается доказать (a2+2b2)(b2+2c2)+(b2+2c2)(c2+2a2)+(c2+2a2)(a2+2b2)3(ab+bc+ac) (!)

Заметим, что (a2+2b2)(b2+2c2)ab+2bc по КБШ, тогда сумма таких неравенств дает требуемое

  0
3 года назад #

обожаю КБШ!!

  0
3 года назад #

Я же Так и Сделал

  0
3 года назад #

Многие пользователи, в том числе и я, могли не понять что вы написали: у вас где-то есть латех, а где-то его нет

пред. Правка 3   1
3 года назад #

Ну и еще одно решение ко множеству.

Пусть исходное выражение слева A, справа B, тогда

(!)AB

По Коши или по КБ:

a2+b2+b23+3+3a3+b3+b3

Анологично:

b2+c2+c23+3+3b3+c3+c3

И еще

c2+a2+a23+3+3c3+a3+a3

Проссумируем все, получим:

3A3B

Сократив на три получим исходное

  0
3 года назад #

у вас при сумме выйдет:

A+33B

распишите правильно.

  1
3 года назад #

Соряньте, там умножение

  0
3 года назад #

вот и славно теперь!

  1
3 года назад #

Классное решение

  1
3 года назад #

Решение Караматой

БОО abc, тогда {a2+2b2,c2+2a2,b2+2c2}{3c2,3b2,3a2},

тогда по неравенству Караматы для вогнутой функции f(x)=x, x>0, имеем

f(a2+2b2)+f(c2+2a2)+f(c2+2a2)f(3a2)+f(3b2)+f(3c2)a2+2b2+b2+2c2+c2+2a23a2+3b2+3c2=3(a+b+c)

Ч.Т.Д.

  1
3 года назад #

Ты хуже popokben'а. Он кидает решение с КБШ на 8-класс, а ты решение с Караматой на 9-класс))))

  0
3 года назад #

АХХААХАХ

  0
3 года назад #

Есть такое, прост я с Талдыка, а тут все извращенцы))

  0
3 года назад #

абен кстати тоже)

  0
3 года назад #

Ема, я тоже с Талдыка. А ты какой курс\класс? И с какой школы? Я первый курс)

  1
3 года назад #

Тем временем 1234567 на городской Жауте:

  0
3 года назад #

7 класса

  1
3 года назад #

1-задача

  9
3 года назад #

Так как a,b,c>0 то можно построить прямоугольные треугольники, так как показано на рисунке.

Длина ломаной AD, которая была составлена из гипотенуз данных треугольников, согласно теореме Пифагора будет равна

a2+2b2+b2+2c2+c2+2a2

Длина гипотенузы большого треугольника равна (или расстояние между А и D)

(a+b+c)2+2(a+b+c)2=3(a+b+c)

Длина прямого отрезка между двумя точками А и D, не может быть длиннее ломаной AD,

Поэтому,

a2+2b2+b2+2c2+c2+2a23(a+b+c)

  2
3 года назад #

решение прекрасно

пред. Правка 2   0
2 года 4 месяца назад #

  0
1 года 3 месяца назад #

мне кажется или в книге области нету этого года

  0
1 года 3 месяца назад #

в книге собраны задачи с 1999 по 2021 год

  0
1 года 3 месяца назад #

Кароче вот решение первого автора на Latex:

Давайте умножим обе части неравенства на 3. Тогда нам нужно доказать, что 3a2+6b2+3b2+6c2+3c2+6a23a+3b+3c. По неравенству Коши заметим, что 3a2+6b2(a+2b)2, то есть 3a2+6b2a+2b;

3b2+6c2b+2c;

3c2+6a2c+2a

Суммируя три неравенства получаем исходное, которое и требовалось доказать.

  0
11 месяца 20 дней назад #

Хорошо, вот полное решение:

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Минковского и его обобщением, известным как неравенство Минковского-Коши.

Неравенство Минковского гласит:

\[

\sqrt{a^2 + 2b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} + \sqrt{c^2 + 2a^2} \geq \sqrt{(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} + \sqrt{c^2})^2 + (\sqrt{2b^2} + \sqrt{2c^2} + \sqrt{2a^2})^2}

\]

Теперь применим неравенство Коши-Буняковского к выражениям в скобках:

\[

\sqrt{(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} + \sqrt{c^2})^2} \leq \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}

\]

\[

\sqrt{(\sqrt{2b^2} + \sqrt{2c^2} + \sqrt{2a^2})^2} = \sqrt{2}(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} + \sqrt{c^2})

\]

Таким образом, неравенство Минковского-Коши выражается как:

\[

\sqrt{a^2 + 2b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} + \sqrt{c^2 + 2a^2} \geq \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} + \sqrt{2}(a + b + c)

\]

Рассмотрим неравенство о средних для корней:

\[

\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{3}} \geq \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}

\]

Применяя его к нашему выражению, получаем:

\[

\frac{\sqrt{a^2 + 2b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} + \sqrt{c^2 + 2a^2}}{3} \geq \sqrt{\frac{a^2 + 2b^2 + b^2 + 2c^2 + c^2 + 2a^2}{3}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

\]

Умножим обе части на 3:

\[

\sqrt{a^2 + 2b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} + \sqrt{c^2 + 2a^2} \geq 3\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

\]

Таким образом, доказано неравенство:

\[

\sqrt{a^2 + 2b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} + \sqrt{c^2 + 2a^2} \geq \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}

\]

  1
11 месяца 20 дней назад #

"предпосмотр"