Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур регионального этапа

Будем называть натуральное число красивым, если в его десятичной записи поровну цифр 0, 1, 2, а других цифр нет. Может ли произведение двух красивых чисел быть красивым? ( К. Сухов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не может.
Решение. Очевидно, количество цифр красивого числа делится на 3. Если в десятичной записи красивого числа $x$ $3n$ цифр, то оно удовлетворяет неравенству $10^{3n-1} < x < 3\cdot 10^{3n-1} (*).$ Следовательно, произведение двух красивых чисел, записываемых $3k$ и $3m$ цифрами соответственно, лежит между числами $10^{3(k+m)-2}$ и $9\cdot 10^{3(k+m)-2},$ а, значит, и между степенями десятки с показателями $3(k+m)-2$ и $3(k+m)-1.$ Красивое же число в силу неравенства $(*)$ лежит между степенями десятки с показателями $3n-1$ и $3n$. Поэтому произведение двух красивых чисел не может быть красивым.