Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Натурал санды әдемі деп атаймыз, егер оның ондық санау жүйесінде жазылуында 0, 1, 2 цифрлар саны бірдей болса және олардан басқа цифрлар болмаса. Екі әдемі санның көбейтіндісі әдемі санға тең бола алады ма? ( К. Сухов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не может.
Решение. Очевидно, количество цифр красивого числа делится на 3. Если в десятичной записи красивого числа $x$ $3n$ цифр, то оно удовлетворяет неравенству $10^{3n-1} < x < 3\cdot 10^{3n-1} (*).$ Следовательно, произведение двух красивых чисел, записываемых $3k$ и $3m$ цифрами соответственно, лежит между числами $10^{3(k+m)-2}$ и $9\cdot 10^{3(k+m)-2},$ а, значит, и между степенями десятки с показателями $3(k+m)-2$ и $3(k+m)-1.$ Красивое же число в силу неравенства $(*)$ лежит между степенями десятки с показателями $3n-1$ и $3n$. Поэтому произведение двух красивых чисел не может быть красивым.