Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур дистанционного этапа

Даны натуральные числа $a$ и $b$ $(a > 1)$, причём $b$ делится на $a^2.$ Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем, является также делителем числа $a.$ Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей. ( И. Богданов, А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Допустим, у числа $a$ есть четыре различных простых делителя $p$, $q$, $r$ и $s$. Тогда $a = p^kq^lr^ms^nc,$ где $k, l, m, n \ge 1$ и $c$ — некоторое натуральное число, не делящееся на $p$, $q$, $r$ и $s.$ С точностью до выбора обозначений можно считать, что $p^k$ — наименьший из первых четырех сомножителей в этом разложении. Тогда $p^{4k} < p^kq^lr^ms^n \le a,$ то есть $p^{2k} < \sqrt{a}.$ Но так как $b$ делится на $a^2$, то $b$ делится и на $p^{2k},$ и получается, что a должно делиться на $p^{2k},$ что противоречит нашему построению.