Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа

На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Пусть на доске записаны числа $a \geq b \geq c \geq d > 0$. Предположим противное. Тогда $a - b \geq \frac{c+d}{3}, \, b-c \geq \frac{a+c}{3} \Rightarrow 2a \geq 4c+2d \Rightarrow a > 2c$. Значит $a+b+3d > 3c \Rightarrow c-d < \frac{a+b}{3}$, что и требовалось доказать.