Решения: Дистанционные олимпиады, Математическая олимпиада «Шелковый путь»

20-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2021 жыл

Кез келген натурал

$m$ саны үшін

$|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\frac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңіз. (

$x$ санының бүтін

$[x]$ бөлігі деп,

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды, ал бөлшек

$\{x\}$ бөлігі деп

$\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз.) ( А. Голованов )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

ASDF

3 года 10 месяца назад #

Решение: Пусть $[\sqrt{m}]=n.$ Иными словами $m=n^2+k,$ где $0\le k\le 2n.$

Умножим обе части неравенства на $\bigg(\sqrt{m}+n+\dfrac{1}{2}\bigg)$ :

$LHS=\bigg| \{\sqrt{m}\}-\dfrac{1}{2}\bigg|\cdot \bigg(\sqrt{m}+n+\dfrac{1}{2}\bigg)=\bigg| \sqrt{m}-\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\bigg|\cdot\bigg(\sqrt{m}+\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\bigg)$

$=\bigg|m-\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)^2\bigg|=\bigg|(k-n)-\dfrac{1}{4}\bigg|=s,$

Заметим, что тогда $s\ge \dfrac{1}{4}.$ Осталось доказать, что

$\dfrac{1}{4}> \dfrac{\bigg(\sqrt{m}+n+\dfrac{1}{2}\bigg)}{8(\sqrt{m}+1)}\iff \sqrt{m}+\dfrac{3}{2}> n,\ \text{что следует из}\ \sqrt{m}\ge n.\quad\square$

ASDF

Mopsichek

пред. Правка 3

3 года 4 месяца назад #

Пусть $\sqrt{m}=x+y$ и $\left \{ \sqrt{m} \right \}=y$ .

Очевидно что $y\neq 1/2$ . Соответственно получаем два случая:

$i)$ $y>1/2$

$ii)$ $y<1/2$

(знак | это сравнение).

При первом случае уравнение преобразуется в:

$(y-\frac{1}{2} )| \frac{1}{8(x+y+1)} \Rightarrow y| \frac{1+4(x+y+1)}{8(x+y+1)} \Rightarrow 8xy+8y^2+8y|(1+4x+4y+4) \Rightarrow 8xy+8y^2+4y|4x+5 \Rightarrow (8xy-4x)+(8y^2+4y-5)|0$

$2xy+y^2 \in N > x \Rightarrow 2xy+y^2 \geq x+1 \Rightarrow (8xy-4x)+(8y^2+4y-5)|0 \Rightarrow (4y^2+4y-1)|0$

При точке и выше $y=1/2 \Rightarrow> 0.$

При втором случае уравнение преобразуется в:

$(\frac{1}{2}-y )| \frac{1}{8(x+y+1)} \Rightarrow \frac{1}{2} | \frac{1+8y(x+y+1)}{8(x+y+1)} \Rightarrow (8x+8y+8)|(2+16xy+16y^2+16y) \Rightarrow 0|(16xy+16y^2+8y-6-8x) \Rightarrow 0|(16xy-8x) + (16y^2+8y-6)$