Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 11 сынып
[√a2n+√b2n+1]=[√(a+b)2n+3] теңдігі кез келген натурал n саны үшін орындалатындай, шексіз көп натурал (a,b) (a≠b) жұптарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде [x] — ол x санының бүтін бөлігі, яғни x санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.)
(
Абдыкулов А.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: Докажем, что пары (a,b)=(x,2x) подходят для всех натуральных x. Нам надо доказать, что
[x√n+x√4n+1x2 ]=[x√9n+3x2 ]
Пусть [x√9n+3x2 ]=N
⟹N≤x√9n+3x2<N+1
⟹N2≤9nx2+3<(N+1)2
Рассматривая остатки по модулю 9 находим, что N2≠9nx2+3,9nx2+2 откуда
⟹N2−1≤9nx2<(N+1)2−3
⟹N2−19x2≤n<(N+1)2−39x2(1)
Надо доказать, что N≤x√n+x√4n+1x2<N+1
⟺Nx≤√n+√4n+1x2<N+1x(2)
Взявь N+1=w находим, что
√n+√4n+1x2<√w2−3+√4w2−33x<w+2w3x=N+1x(i)
√n+√4n+1x2≥√N2−1+√4N2+53x≥Nx(ii)
последнее неравенство равносильно с 5N2+4+2√(N2−1)(4N2+5)≥9N2⟺√4N2+5≥2√N2−1, что очевидно верно. Задача решена.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.