Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 11 сынып


[a2n+b2n+1]=[(a+b)2n+3] теңдігі кез келген натурал n саны үшін орындалатындай, шексіз көп натурал (a,b) (ab) жұптарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде [x] — ол x санының бүтін бөлігі, яғни x санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( Абдыкулов А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
3 года назад #

Решение: Докажем, что пары (a,b)=(x,2x) подходят для всех натуральных x. Нам надо доказать, что

[xn+x4n+1x2 ]=[x9n+3x2 ]

Пусть [x9n+3x2 ]=N

Nx9n+3x2<N+1

N29nx2+3<(N+1)2

Рассматривая остатки по модулю 9 находим, что N29nx2+3,9nx2+2 откуда

N219nx2<(N+1)23

N219x2n<(N+1)239x2(1)

Надо доказать, что Nxn+x4n+1x2<N+1

Nxn+4n+1x2<N+1x(2)

Взявь N+1=w находим, что

n+4n+1x2<w23+4w233x<w+2w3x=N+1x(i)

n+4n+1x2N21+4N2+53xNx(ii)

последнее неравенство равносильно с 5N2+4+2(N21)(4N2+5)9N24N2+52N21, что очевидно верно. Задача решена.