Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып

$(a_n)$ және $(b_n)$ тізбектері келесі шарттармен берілген: $a_1=b_1=1$ және әрбір натурал $n$ саны үшін $a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$, $b_{n+1}=b_n+\root 3\of {b_n}$. $a_n\leq b_k < a_{n+1}$ теңсіздігі дәл 2021 $k$ үшін орындалатындай натурал $n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )