Математикадан республикалық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып

$ABCD$ дөңес төртбұрышының $AB$ және $CD$ қабырғаларының созындысы $P$ нүктесінде, ал $AC$ және $BD$ диагональдері $Q$ нүктесінде қиылысады. $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдерінің орталары. $BCQ$ және $MNQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $T$ ($T\ne Q$) нүктесінде қиылысады. Егер $\angle APD =90^\circ$ болса, онда $PT$ түзуі $MN$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Решение: Заметим, что $\angle TMQ=\angle TNQ$ и $\angle TCQ=\angle TBQ,$ значит $\triangle TMC \equiv \triangle TNB,$ следовательно

$$\dfrac{CM}{TM}=\dfrac{BN}{TN}$$

Построим точку $T_1$ так, чтобы $TMT_1N$ $-$ параллелограмм. Тогда заметим, что

$$\dfrac{PM}{T_1N}=\dfrac{CM}{TM}=\dfrac{BN}{TN}=\dfrac{PN}{T_1M}$$

$$\implies PM\cdot T_1M=PN\cdot T_1N\quad (\color{red}{1})$$

С другой стороны заметим, что

$$\angle MT_1N=\angle MTN = \angle MQN=\angle PCA + \angle PBD + \angle APD$$

$$=90+(\angle CPM+\angle BPN)=90+(90-\angle MPN)$$

$$\implies \angle MT_1N+\angle MPN = 180\implies \angle PMT_1+\angle PNT_1=180$$

$$\implies \sin \angle PMT_1=\sin \angle PNT_1\quad (\color{red}{2})$$

Из $(\color{red}{1})$ и $(\color{red}{2})$ получаем, что $S\left(\triangle PMT_1\right)=S\left(\triangle PNT_1\right),$ откуда прямая $PT_1$ проходит через середину $MN,$ а также мы знаем, что $TT_1$ проходит через эту середину, откуда следует требуемое.