Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур заключительного этапа

Петя, Вася и Толя вернулись с рыбалки, на которой каждый из них поймал некоторое количество рыб (хотя бы одну). После рыбалки они стали хвастаться своими уловами. Петя сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем каждый из остальных!». Вася сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем Петя и Толя в сумме!». Толя сказал: «Я поймал на $25\%$ больше рыб, чем Вася!». Позже выяснилось, что каждый из ребят преувеличил свой улов не более, чем в $a$ раз. Какое наименьшее значение могло принимать число $a$? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 1,5.
Решение. Пусть Петя, Вася и Толя поймали $P,$ $V$ и $T$ рыб соответственно. По условию $aP \ge V \Leftrightarrow P/V \ge 1/a,$ $aT \ge 5V/4 \Leftrightarrow T/V \ge 5/(4a).$ По условию же $aV \ge P+T,$ откуда $a \ge P/V+T/V \ge 1/a+5/(4a).$ Умножив на $a$, получаем $a^2 \ge 2,\!25,$ откуда $a \ge 1,\!5.$ Пример, когда подходит $a = 1,\!5$: $P = 4,$ $T = 5,$ $V = 6.$