Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Петя, Вася және Толя балық аулап келді (әрқайсысы кем дегенде бір балық аулаған). Олар өздерінің аулаған балықтарымен мақтана бастады. Петя айтты: «Мен қалғандарының әрқайсысынан кем емес балық ауладым!». Вася айтты: «Мен Петя мен Толя аулаған балық санынан кем емес балық ауладым!». Толя айтты: «Мен Вася аулаған балық санынан $25\%$ көбірек балық ауладым!». Біраз уақыттан кейін, әр бала өзінің аулаған балық санын ең көп дегенде $a$ есе асырып айтқаны белгілі болған. $a$ санының ең кіші мәні нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 1,5.
Решение. Пусть Петя, Вася и Толя поймали $P,$ $V$ и $T$ рыб соответственно. По условию $aP \ge V \Leftrightarrow P/V \ge 1/a,$ $aT \ge 5V/4 \Leftrightarrow T/V \ge 5/(4a).$ По условию же $aV \ge P+T,$ откуда $a \ge P/V+T/V \ge 1/a+5/(4a).$ Умножив на $a$, получаем $a^2 \ge 2,\!25,$ откуда $a \ge 1,\!5.$ Пример, когда подходит $a = 1,\!5$: $P = 4,$ $T = 5,$ $V = 6.$