Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Заключительный этап

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур заключительного этапа

Диагонали трапеции

$ABCD$

$(AD \parallel BC)$ пересекаются в точке

$K.$ Внутри треугольника

$ABK$ нашлась такая точка

$M,$ что

$\angle MBC = \angle MAD,$

$\angle MCB = \angle MDA.$ Докажите, что прямая

$MK$ параллельна основаниям трапеции. ( М. Кунгожин )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ,$ на прямые $AD$ и $BC$ соответственно. Треугольники $MBC$ и $MAD$ подобны по двум углам. Поэтому $MP/MQ = AD/BC.$ Теперь опустим перпендикуляры $KR$ и $KS$ на прямые $AD$ и $BC$ из точки $K.$ Треугольники $KBC$ и $KDA$ также подобны по двум углам, откуда $KR/KS = AD/BC = MP/MQ = m.$ Кроме того $MP+MQ = PQ = RS = KR+KS = n.$ Тогда из равенств $MP/(n-MP) = m = KR/(n-KR)$ имеем $MP = mn/(m+1) = KR.$ Таким образом, $MPRK$ — прямоугольник, откуда и следует утверждение задачи.