Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

$ABCD$ трапециясының $(AD \parallel BC)$ диагональдары $K$ нүктесінде қиылысады. $ABK$ үшбұрышының ішінде $\angle MBC = \angle MAD,$ $\angle MCB = \angle MDA$ болатындай $M$ нүктесі алынған. $MK \parallel AD$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ,$ на прямые $AD$ и $BC$ соответственно. Треугольники $MBC$ и $MAD$ подобны по двум углам. Поэтому $MP/MQ = AD/BC.$ Теперь опустим перпендикуляры $KR$ и $KS$ на прямые $AD$ и $BC$ из точки $K.$ Треугольники $KBC$ и $KDA$ также подобны по двум углам, откуда $KR/KS = AD/BC = MP/MQ = m.$ Кроме того $MP+MQ = PQ = RS = KR+KS = n.$ Тогда из равенств $MP/(n-MP) = m = KR/(n-KR)$ имеем $MP = mn/(m+1) = KR.$ Таким образом, $MPRK$ — прямоугольник, откуда и следует утверждение задачи.

$\triangle MAD \sim \triangle MBC$ и $\triangle AKD \sim \triangle BKC$, $AM \cap BC = P$.

$\angle MAD = \angle PAD = \angle BPM = \angle PBM \iff MP = MB$.

$\dfrac{AK}{KC} = \dfrac{AD}{BC} = \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AM}{MP}$, откуда из обобщенного Фалеса $MK \parallel BC$