Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Васяда 20 гір бар. Олардың ішінде салмақтары бірдей болатын үш гір табылмайды. Вася осы гірлердің барлығын салмақтары бірдей болатын 10 үйірмеге де, 11 үйірмеге де бөле алады. Вася осы гірлердің ішінде салмақ-тар қатынасы дәл 4-ке тең екі гір таба алатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть все гири вместе весят 110 условных единиц. Если гири разложены на 11 куч с равными весами, то хотя бы в двух кучах лежит по одной гире — иначе гирь было бы не меньше, чем $2\cdot 10+1 = 21.$ Очевидно, эти гири весят по 10, и они — самые тяжелые. Поскольку трёх гирь одинакового веса по условию нет, остальные гири весят меньше 10, и потому в каждой из оставшихся 9 куч не меньше двух гирь. Так как всего оставшихся гирь — 18, в каждой из оставшихся 9 куч — ровно две гири. Таким образом, среди 20 наших гирь две весят по 10, а остальные разбиваются на пары общим весом 10 каждая.
   Разложим теперь все гири на 10 куч с равными весами. Вес каждой такой кучи — 11, а каждая гиря весит не больше 10, поэтому в каждой куче — не меньше двух гирь, а значит — ровно две. Отметим каждую гирю точкой на плоскости, каждые две гири, попавшие в одну кучу при раскладывании на 11 куч равного веса, соединим синей линией, а каждые две, попавшие в одну кучу при раскладывании на 10 куч равного веса — красной линией. Из гирь весом 10 выходит по одной красной линии в гири весом 1, а из всех остальных гирь — по одной красной и одной синей линии. Из гирь весом 1 выходят синие линии в гири весом 9, из гирь весом 9 — красные линии в гири весом 2, из гирь весом 2 — синие линии в гири весом 8. Ну а 8 в 4 раза больше, чем 2, что и завершает доказательство.