Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 10 класс

На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ так, что $AP : BP = 2:3.$ Известно, что $AC = CP = 1.$ Найдите величину угла $ACB$, при котором площадь треугольника $ABC$ максимальна. (Из примечания официального решения, данными организаторами, задачу следует решать с условием не для остроугольного треугольника, а для любого.)

Комментарий/решение

Опустив высоту $CH$ и $AP=2x, BP=3x$ тогда $CH=\sqrt{1-x^2}, \ AB=5x$ то есть $S=\dfrac{5x \cdot \sqrt{1-x^2}}{2}$ и так как $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$ значит $S \leq \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{x^2+1-x^2}{2} = \dfrac{5}{4}$ где $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ с другой стороны $S= \dfrac{BC \cdot \sin ABC}{2} = \dfrac{5}{4}$ но $BC = \sqrt{15x^2+1} = \dfrac{\sqrt{34}}{2}$ откуда $\angle ACB = \arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{34}})$