Математикадан аудандық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 10 сынып

Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасының бойынан $AP:BP=2:3$ болатындай $P$ нүктесі белгіленген. $AC=CP=1$ екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының ауданы максимал болатындай $ACB$ бұрышының мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Опустив высоту $CH$ и $AP=2x, BP=3x$ тогда $CH=\sqrt{1-x^2}, \ AB=5x$ то есть $S=\dfrac{5x \cdot \sqrt{1-x^2}}{2}$ и так как $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$ значит $S \leq \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{x^2+1-x^2}{2} = \dfrac{5}{4}$ где $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ с другой стороны $S= \dfrac{BC \cdot \sin ABC}{2} = \dfrac{5}{4}$ но $BC = \sqrt{15x^2+1} = \dfrac{\sqrt{34}}{2}$ откуда $\angle ACB = \arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{34}})$