Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. На стороне

$AB$ ~~остроугольного~~ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$P$ так, что

$AP : BP = 2:3.$ Известно, что

$AC = CP = 1.$ Найдите величину угла

$ACB$ , при котором площадь треугольника

$ABC$ максимальна. (Из примечания официального решения, данными организаторами, задачу следует решать с условием не для остроугольного треугольника, а для любого.)
комментарий/решение(1)

Задача №2. Компьютер заражён вирусами. На этот компьютер установили Антивирус. Этот Антивирус борется с каждым вирусом по следующей схеме:
   1) сначала он находит вирус,
   2) затем помещает найденный вирус в карантин,
   3) и, в конце концов, уничтожает вирус.
   Над каждым вирусом Антивирус выполняет операции 1-3 строго в указанном порядке, но не обязательно сразу одну за другой. Выполнив одну операцию над каким-то вирусом, он может либо приступить к следующей для этого вируса операции, либо перейти к другому вирусу, выполняя над ним соответствующую операцию.
   Известно, что Антивирус вылечил компьютер, уничтожив все 2020 вирусов, которыми был заражён компьютер. Сколькими различными способами Антивирус мог это сделать?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все решения арифметического ребуса

$New = (((Y! - E)! + A)! - R)!.$ Здесь

$New$ — натуральное число, в десятичной записи которого на конце стоят ровно четыре нуля;

$Y,$

$E,$

$A,$

$R$ — различные положительные цифры. (Для любого натурального числа

$n$ величина

$n!$ (факториал натурального числа

$n$ ) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до

$n$ включительно:

$n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n.$ )
комментарий/решение(1)